2.Об’єднання і різниця множин як теоретична основа арифметичних дій додавання і віднімання. Кількість об’єднання двох трьох скінчених множин.

В математиці, зокрема в теорії множин, об'єднання множин є множиною, яка включає в себе всі елементи об'єднуваних множин і нічого більше.

Базові визначення

Якщо A та B - множини, то об'єднанням A та B є множина, яка включає всі елементи A і всі елементи B, і більш нічого.

Об'єднання множин A та B позначається як "A∪B".

Формально:

x є елементом A∪B тоді й тільки тоді, коли

§ x є елементом A або x є елементом B.

Наприклад, об'єднанням множин {1, 2, 3} та {2, 3, 4} буде {1, 2, 3, 4}.

Алгебраїчні властивості

Бінарна операція об'єднання є :

§ асоціативною, тобто A∪(B∪C) = (A∪B)∪C (отже, коли в виразі є тільки операція об'єднання, дужки можна не писати: A∪B∪C);

§ комутативною, тобто A∪B = B∪A (отже, порядок запису множин в виразі не має значення).

Порожня множина є нейтральним елементом для операції об'єднання в алгебрі множин. Тобто, Ø∪A = A, для будь-якої множини A.

§ ідемподентною, тобто A∪A = A.

Об'єднання довільної кількості множин

В загальному випадку, якщо M - множина, елементами якої є також множини, то x є елементом M тоді й тільки тоді, якщо існує такий елемент A з M, що x є елементом A. В символічній формі:

$Описание: Описание: x \in \bigcup\mathbf{M} \iff \exists A{\in}\mathbf{M}, x \in A.$

Позначення об'єднання довільної кількості множин такі:

$Описание: Описание: \bigcup \mathbf{M},$ або $Описание: Описание: \bigcup_{A\in\mathbf{M}} A.$

Остання нотація може бути узагальнена до

$Описание: Описание: \bigcup_{i\in I} A_{i},$

що відповідає операції об'єднання колекції множин {A_i : i в I}. Тут I - множина, а A_i - множина для кожного i і I.

В цьому випадку I є множиною індексів (натуральних чисел), і нотація є аналогічною узагальненій операції сумування:

$Описание: Описание: \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}.$

Також можна записати "A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ ···".

Дистрибутивність об'єднання і перетину

Перетин множин є дистрибутивним відносно об'єднання, тобто

$Описание: Описание: \bigcup_{i\in I} (A \cap B_{i}) = A \cap \bigcup_{i\in I} B_{i}.$

Можна об'єднати таке нескінченне об'єднання з нескінченним перетином, отримавши співвідношення:

$Описание: Описание: \bigcup_{i\in I} (\bigcap_{j\in J} A_{i,j}) \subseteq \bigcap_{j\in J} (\bigcup_{i\in I} A_{i,j}).$

Різниця множин (відносне доповнення)

Якщо A та B - множини, то різницею між B та А (порядок множин важливий), або відносним доповненням A до B, є множина з елементівB, які не належать A. Різниця множин є бінарною операцією.

Відносне доповнення A до B позначається як B − A (також B \ A).

Формально:

$Описание: Описание: B - A = \{ x \, | \, x\in B \,\wedge\, x \not \in A \}$

§ Якщо $Описание: Описание: \mathbb{R}$ - множина дійсних чисел, і $Описание: Описание: \mathbb{Q}$ - множина всіх раціональних чисел то $Описание: Описание: \mathbb{R}-\mathbb{Q}$ є множиною ірраціональних чисел.

Наступне твердження містить основні властивості операції різниці множин та її співвідношення з операціями об'єднання та перетинумножин

ТВЕРДЖЕННЯ 1: Якщо A, B, та C є множини, то справедливі такі співвідношення::

§ C − (A ∩B) = (C − A) ∪(C − B)

§ C − (A ∪B) = (C − A) ∩(C − B)

§ C − (B − A) = (A ∩C) ∪(C − B)

§ (B − A) ∩C = (B ∩C) − A = B ∩(C − A)

§ (B − A) ∪C = (B ∪C) − (A − C)

§ A − A = Ø

§ Ø − A = Ø

§ A − Ø = A

Абсолютне доповнення

Доповнення A до U
$Описание: Описание: A^c~~~=~~~U \setminus A$

Для універсальної множини U, відносне доповнення деякої множини A до U називається абсолютним доповнення (або простодоповненням) A, і позначається як A^C або C_A:

A^C = U − A

Наступне твердження містить деякі основні властивості абсолютного доповнення та зв'язок цієї операції з операціями об'єднання таперетину множин

ТВЕРДЖЕННЯ 2: Якщо A та B є підмножини U, то виконуються такі співвідношення:

правила де Моргана:

§ (A ∪B)^C = A^C ∩B^C, (A ∩B)^C = A^C ∪B^C

закони доповнення:

§ A ∪A^C = U, A ∩A^C = Ø, Ø^C = U, U^C = Ø

закон подвійного доповнення (операція доповнення є інволюцією):

§ A^CC = A. Попереднє співвідношення твердить, що якщо A є непорожня підмножина U, то {A, A^C } є поділом U.